jämviktsproblem

Jämviktsproblem är en matematisk problemställning där man söker en punkt x i en given mängd C som uppfyller ett villkor som beskriver ett tillstånd av jämvikt i ett system. Denna form av problem uppträder inom optimering, variational inequality-teori, kompletarihet och spelteori och används för att modellera situationer där flera aktörer eller komponenter påverkar varandra.

Formulering och matematiskt ramverk

Ett vanligt sätt att formulera ett jämviktsproblem är som en variational inequality (VI): Given en icke‑Tom, stängd och konvex uppsättning C ⊆ R^n och en kartläggning F: C → R^n, hitta x* ∈ C så att F(x*)^T(y − x*) ≥ 0 för alla y ∈ C. Detta uttrycker att det inte finns någon riktning inom C som minskar den inre produkten med F vid x*. Om F är gradienten av en konvex funktion f så är VI-informationen ofta motsvarigheten till att minimera f över C. F som är linjär, F(x) = Ax, ger upphov till särskilda linjära eller komplementaritetsrelaterade problem.

Existens och unikhet

Lösningens existens följer under förhållanden som att C är icke‑tom, sluten, konvex och att F är kontinuerlig och monotont över C. Unik lösning uppstår ofta om F är strikt eller starkt monotont.

Metoder

Vanliga lösningar bygger på projektionstekniker och iterativa metoder som extragradientmetoden, proximal point-metoder, samt splitting- och dekompositionstekniker. För differentiabla F används ibland Newton-liknande metoder eller förslag som ADMM i specificerade sammanhang.

Tillämpningar

Användningsområden inkluderar transportnätverk (Wardrops jämvikt), nätverks- och marknadsjämvikter, mekanik och kontaktproblem samt ekonomiska modeller där kostnader eller nyttor är beroende av flera samverkande faktorer.

Jämviktsproblem fungerar som en bred och förenande ram för att beskriva och analysera jämviktstillstånd i komplexa system.