juurijärjestelmiin

Juurijärjestelmät ovat matemaattinen käsite, joka esiintyy erityisesti Lie-teoriassa ja edustaa järjestäytynyttä rakennetta, jonka avulla voidaan tutkia jatkuvia symmetrioita. Ne ovat finiteistä vektorialueesta V sekä sen sisällä sijaitsevien vektorien Φ joukko, jonka jäsenet ovat ei-nollia ja joiden avulla voidaan ymmärtää g-maalien rakennetta.

Juurijärjestelmän määritelmä voi esittää seuraavat ominaisuudet. Φ on suppea, ei-hajonneinen joukko, joka sijaitsee V:ssä ja jonka kaikki juuret ovat ei-nollia. Jos α ∈ Φ, ei ole olemassa k muuta kuin ±α, jolla α olisi Φ:ssa. Jokainen β ∈ Φ voidaan esittää suhdeluvulla 2⟨β, α⟩/⟨α, α⟩, joka on kokonaisluku, kun α ∈ Φ. Lisäksi jokainen heijastus sα, määriteltynä sα(β) = β − ⟨β, α∨⟩ α, missä α∨ = 2α/⟨α, α⟩, karttaa Φ:n takaisin Φ:in. Ja lopuksi Φ on sulkeutuva kaikkien näiden heijastusten suhteen.

Juurijärjestelmällä on usein valittu perhe, joka koostuu yksinkertaisista juurista Δ, ja jokainen juures voi ilmentää mitkä tahansa juuret ei-positiivisesti tai ei-negatiivisesti. Tämän perusteella määritellään Weyl-ryhmä, joka on pienin ryhmä, joka suorittaa kaikki sα:n joukkoon kuuluvat heijastukset Φ:ssa. Φ:n ja siihen liittyvät rakennelmat tekevät mahdolliseksi luokitella yksinkertaiset juurijärjestelmät Dynkin-kaavioiden kautta, Type A–D sekä E, F ja G sarjoihin.

Juurijärjestelmät liittyvät läheisesti semisään Lie-algebran rakenteeseen: Cartan-algebran h ylä-levy g jakautuu juurien gα-osiin, ja Φ koostaa näiden juurien indeksin. Root- ja coroot-järjestelmillä on keskeinen rooli representaatioissa ja tieteen eri osa-alueilla, mukaan lukien fysiikka ja kidekrystallografia.