izometriai

Az izometria olyan leképezés vagy transzformáció, amely két metrikus tér között megőrzi a távolságokat: egy f:X→Y izometria esetén minden x, y ∈ X-re d_Y(f(x), f(y)) = d_X(x, y). Így az izometriai leképezések formája erősen függ a vizsgált tértől, de alapvetően a távolság megőrzésére törekszenek.

Euklidei térben, különösen az R^n-ben, az izometrikus leképezések általában affine jellegűek: minden f(x) számolható úgy, hogy f(x) = Qx + b, ahol Q ortogonális мат, azaz Q^TQ = I, és b egy állandó vektor. Ennek megfelelően az izometrikák a translációk, forgatások, tükrözések és ezek kombinációi. Az orientációt megőrző izometrikák (det(Q) = +1) közé tartoznak a forgatások és translációk; az orientációt megváltoztató izometrikák tükrözéseket tartalmaznak. Planeón belül gyakori példák a transláció (x → x + t), a forgatás a középpont körül, a tükrözés egy sík mentén, illetve a csúszó tükrözés (glide reflection), amely tükrözést és irányba eltolást kombinál.

Az izometriai transzformációk csoportja az izometriai csoport, amely R^n-ben az O(n) orthogonális csoport és a translációk szintézisével érhető el, azaz az f(x) = Qx + b alakú leképezések sokasága. Más terekben az izometria általános definíciója is angolul a d_X(d_X) megőrzése, és a konkrét alakja térfüggő lehet.

Az izometriai leképezések alapvető példái nélkülözhetetlenek a geometriában, grafikában és robotikában, mivel megőrzik a szerkezetet és a távolságokat, így értelmezhetők a formák és a tér viszonyai. Az izometria és a hasonlóság közötti fő különbség, hogy az izometria méreteket is megtart, a hasonlóság pedig arányokat.