integralkurvorna

Integralkurvorna är kurvor i ett plan som beskriver lösningar till en först–order differentialekvation eller ett tvådimensionellt dynamiskt system. I fallet dy/dx = h(x,y) är en integral kurva en graf y(x) som uppfyller differentialekvationen på sitt domän, dvs y′(x) = h(x,y(x)). I ett autonomt system x′ = f(x,y), y′ = g(x,y) är integral kurvorna banor γ(t) i planet som följer γ′(t) = (f(γ1(t), γ2(t)), g(γ1(t), γ2(t))). I båda fallen bildar riktningfältet (lutningsfältet) en visualisering där varje punkt visar den lokala lutningen, och integral kurvorna är kurvor som följer fältet.

Existens och unikhet gäller under vanliga antaganden: given ett initialt värde (x0,y0) finns det en lokal lösning och därigenom en unik integral kurva som passerar genom punkten. Detta stöds av teori som Picard–Lindelöf för enkelhetens skull.

Metoder: analytiska lösningar är möjliga för enkla ekvationer, ofta linjära eller separabla. För mer komplexa system används numeriska metoder som Euler– eller Runge–Kutta-metoder för att ~approximate integralkurvorna.

Användningar: integralkurvor används inom fysik, biologi, kemi och teknik för att beskriva tidsutveckling och fasbeteende i system, samt i fasdiagram och riktningfält för att studera stabilitet och gränsvärden.

Exempelet y′ = x + y ger lösningen y(x) = C e^{x} − x − 1, vars graf är en av integralkurvorna till systemet. Det är viktigt att notera att inte varje kurva i planet är en integralkurva; kurvorna måste uppfylla den givna differentialekvationen.