inflektionspunkt

Inflektionspunkt, auch als Wendepunkt bezeichnet, ist ein Punkt einer Kurve, an dem die Krümmung wechselt. Bei einer Funktion y = f(x) bedeutet dies typischerweise, dass die Konvexität bzw. Konkavität der Kurve sich ändert. In vielen Fällen liegt dabei ein Punkt, an dem die zweite Ableitung f''(x) gleich null ist, aber nicht jeder Punkt mit f''(x) = 0 ist ein Inflektionspunkt; es muss eine echte Änderung der Vorzeichen der zweiten Ableitung auftreten.

Mathematische Bestimmung: Für eine stetig differenzierbare Funktion y = f(x) ist x0 ein Inflektionspunkt, wenn f''(x) das Vorzeichen wechselt, während f'' existiert. Falls f''(x0) = 0, reicht das allein nicht aus; man prüft, ob f''(nach x0) und f''(vor x0) unterschiedliche Vorzeichen haben oder ob eine höhere Ableitung die Veränderung der Konvexität zeigt. In Fällen, in denen f oder seine Ableitungen nicht zweifach differenzierbar sind, kann ein Inflektionspunkt durch eine Änderung der Konvexität unabhängig von der Existenz von f'' erkannt werden.

Beispiele: Ein typisches Beispiel ist f(x) = x^3, bei dem der Inflektionspunkt bei x = 0 liegt; hier wechselt die Konvexität von konvex nach konkav. Ein gegenteiliges Beispiel ist f(x) = x^4, bei dem zwar f''(0) = 0 ist, die Konvexität jedoch in beiden Richtungen gleich bleibt, daher gibt es hier keinen Inflektionspunkt.

Anwendung und Bedeutung: Inflektionspunkte helfen beim Skizzieren von Kurven, beim Verständnis des lokalen Verhaltens und bei der Analyse von Extrema, Steigung und Krümmung. Sie treten häufig in Lehrbüchern der Analysis und der analytischen Geometrie auf.