indikatorfunksjonen

Indikatorfunksjonen, også kalt karakteristikkfunksjonen av en mengde A, er en funksjon χ_A: X → {0,1} definert ved χ_A(x) = 1 hvis x ∈ A, ellers 0. Den er ofte skrevet 1_A(x) eller χ_A(x). I sannsynlighet og måleteori betegnes den gjerne som indikator- eller karakteristikkrandomvariabelen for hendelsen A.

Egenskapene og bruk krever at A er en del av en målelig struktur. χ_A er målelig hvis A tilhører en σ-algebra på X. Integrasjon gir en enkel sak: ∫ χ_A dμ = μ(A). For en integrerbar funksjon f gir ∫ χ_A f dμ = ∫_A f dμ. Som en enkel funksjon tar χ_A bare verdiene 0 og 1.

Eksempel: A = [0,1] i ℝ. Da er χ_A(x) = 1 for x i [0,1], ellers 0. Idempotente egenskaper inkluderer χ_A χ_B = χ_{A∩B}, og χ_A + χ_B − χ_A χ_B = χ_{A∪B}.

Disse egenskapene gjør indikatorfunksjonen nyttig som et verktøy for å begrense uttrykk til en del av domenet, eller som byggestein i enklere funksjonsforming. Den er vanligvis ikke kontinuerlig på grensepunktene til A; den er kontinuerlig i områder som ligger helt inne i A eller helt inne i komplementet av A.

Bruksområder omfatter sannsynlighetsteori, integralregning og måleteori, der χ_A brukes til å uttrykke hendelser som sett av en forventning eller et integral, og til å representere enkeltheter som 1_A i ulike beregninger.