identiteettielementtejä

Identiteettielementti on käsite algebrassa. Olkoon S joukko ja * binäärinen operaatio S:sta S:iin. Identiteettielementti e ∈ S on sellainen, että e * a = a ja a * e = a kaikilla a ∈ S. Toisin sanoen e ei muuta minkään alkion tulosta operaation vaikutuksesta. Jos tällainen e löytyy, sitä kutsutaan identiteettielementiksi tai neutraalielementiksi.

Vastaavasti voi puhua vasemmasta identiteetistä ja oikeasta identiteetistä. Vasemmalla identiteetillä e_L pätee e_L * a = a kaikille a ∈ S, oikealla identiteetillä e_R pätee a * e_R = a. Jos sekä vasen että oikea identiteetti ovat olemassa ja ne ovat samaa alkiota, puhutaan kaksipuolisesta identiteettielementistä.

Esimerkkejä. Lukujoukko Z lisäykselle saa identiteettielementin 0, koska a + 0 = 0 + a = a kaikille a. Z kertolaskussa identiteetti on 1, sillä a · 1 = 1 · a = a. Matriisien joukko, tavanomaisella kertolaskulla, saa identiteettielementin I_n, eli identiteettimatriisin, jossa diagonaalilla on ykkösiä ja muualla nollia, koska I_n · A = A · I_n = A kaikille A of koko tai kokoisille matriiseille. Funktiot toimivat identiteettifunktion id: X → X, jolla id ∘ f = f ja f ∘ id = f.

Identiteettielementti on ainutlaatuinen, jos se on olemassa: jos sekä e että e' ovat identiteettejä, niin e = e'. On myös tärkeää huomata, että identiteettielementti ei välttämättä ole olemassa kaikkien binääristen operaatioiden yhteydessä. Esimerkiksi vähennysoperaatiolla ei ole yleistä kaksipuolista identiteettielementtiä.