identiteettielementin

Identiteettielementti on algebraisen rakenteen binäärisen operaation identiteetiksi valittu elementti. Olkoon S joukko ja * sen binäärinen operaatio. Elementti e ∈ S on identiteettielementti, jos kaikille a ∈ S pätee e * a = a ja a * e = a. Jos e vastaa vain toista puolta, puhutaan vasemman identiteetin tai oikean identiteetin olemassaolosta. Kun e täyttää sekä vasemman että oikean identiteetin, sitä kutsutaan identiteetiksi.

Identiteetti on yleisesti yksikäsitteinen, jos se on olemassa: jos e ja e' ovat identiteetteja, niin e = e * e' = e'.

Esimerkkejä: (Z, +) identiteetti on 0, koska a + 0 = a ja 0 + a = a. (Z \ {0}, ×) identiteetti on 1, koska a · 1 = a ja 1 · a = a. Matriisien kertolaskussa identiteetti on I_n, ja funktioiden koostamisessa identiteettifunktio id toimii identiteettielementtinä.

Ominaisuudet eri rakenteissa: semigraafissa identiteettiä ei välttämättä ole; monoidissa identiteetti on olemassa; ryhmässä identiteetti on lisäksi käänteisen olemassaolon ehtona. Renkinä (rengillä) voi olla sekä additiivinen identiteetti (0) että kertolaskun identiteetti (1) silloin, kun rengillä on yksikkö. Ilman yksikköä multiplicatiivinen identiteetti voi puuttua.