identiteettifunktion

Identiteettifunktio on matematiikassa funktio, joka määritellään siten, että sen domain on jokin joukko X ja sen kuvaus on id_X: X -> X, jossa id_X(x) = x kaikille x ∈ X. Tämän funktion tarkoitus on jättää jokainen alkio muuttumattomaksi.

Identiteettifunktio tarvitsee aina sekä lähdejoukon että kohdejoukon, ja ne voivat olla samat tai eri. Jos f: A -> B on jokin funktio, voi olla id_A: A -> A ja id_B: B -> B. Näin pätevät: f ∘ id_A = f ja id_B ∘ f = f. Endomorfien joukosta (funktioiden muodostama joukko A -> A) identiteettifunktio toimii neutraalina elementtinä kokoonpanossa, eli f ∘ id_A = f = id_A ∘ f.

Identiteettifunktio on bijektio: se on sekä injektiivinen että surjektiivinen, ja sen käänteinen on itse id_X. Se tulkitsee ajatustamme sellaisenaan, koska se palauttaa alkuarvot ilman muutosta. Seuraamuksia kuvaa, että identiteettifunktio säilyttää kaikki rakenteet ja suhteet, joita funktiolle määritellään.

Esimerkkejä ovat id_R: R -> R, jossa id_R(x) = x, ja identiteettifunktio joukossa {1,2,3}. On syytä huomata, että identiteettifunktio eroaa vakiofunktiosta, joka lähettää kaikki alkiot samaan arvoon.

Identiteettifunktio on perusyksikkö funktioteoriassa sekä algebrassa ja kategoria­teoriassa, jossa se toimii endomorfian neutraalina elementtinä.