Identiteettifunktio

Identiteettifunktio on funktio, joka kartoittaa jokaisen alkion omaksi. Merkitään id_X: X → X, ja sen vaikutus on id_X(x) = x kaikille x ∈ X. Identiteettifunktio määritellään yleisesti joukkojen X ja Y välillä vain silloin, kun Y = X, jolloin id_X: X → X. Jos f: X → Y on jokin funktio, pätee id_Y ∘ f = f ja f ∘ id_X = f; identiteettifunktio on siten funktion koostamisen neutraali elementti.

Ominaisuudet ja teoreettinen merkitys: identiteettifunktio on bijektio ja sen käänteinen funktio on itse id_X. Se on idempotentti, sillä id_X ∘ id_X = id_X. Se on aina jatkuva kun X:llä on topologia ja identiteettifunktio on koti-muoto (homeomorfismi) tilassa, jossa se määräytyy samalla topologialla. Grafiikallisesti sen kuvaaja on käyrä y = x X:n sisäisessä tuotteessa.

Esimerkit: id_R on real numbers -joukolle määritelty funktio x ↦ x. Alijoukossa A ⊆ X identiteettifunktio id_A: A → A antaa x → x. Identiteettifunktio on keskeinen käsite matematiikassa ja sen lisäksi se esiintyy ohjelmointikielissä yleisenä identiteettifunktiona, joka palauttaa syötteen muuttumattomana.

Kontekstit: kategoriateoriassa jokaisella oliolla on identiteettimorfismi id_A: A → A, joka yhdessä muiden morfismien kanssa täyttää identiteettilait. Identiteettifunktio on perusarvo, jota käytetään usein konstruktiovoitossa, todentamisessa ja teoreettisessa Lue.