identiteettifunktiona

Identiteettifunktio on funktio f: X → X, jolla f(x) = x kaikille x ∈ X. Yleinen merkintä on id_X, ja sitä kutsutaan X:n identiteetiksi. Identiteettifunktio toimii siis kertakaikkisesti kaiken alkioksi.

Ominaisuudet: Identiteettifunktio on sekä injektio että surjektio, eli bijektio. Se toimii koosteissa yksikkönä: f ∘ id_X = f ja id_Y ∘ g = g, kun g: X → Y. Itse identiteettifunktion käänteinen on id_X, sillä id_X ∘ id_X = id_X. Näin id_X on automorfismi X:stä X:ään: se säilyttää kaiken rakenteen, jota funktiot X:llä voivat määrittää.

Esimerkkejä: id_ℝ on funktio ℝ → ℝ, joka lähettää jokaisen luvun takaisin itselleen: id_ℝ(x) = x. Joukko X = {1, 2, 3} tapauksessa id_X(1) = 1, id_X(2) = 2, id_X(3) = 3. Graafi on suora viiva, joka vastaa yhtälöä y = x.

Merkitys: Identiteettifunktio toimii neutralina elementtinä funktiokoosteissa ja kategoriateoriassa, eli se on perusväline, jolla voidaan muodostaa muiden funktioiden yhteyksiä ilman että niitä muuttuu. Se on myös tärkeä esimerkki lineaarisesta transformaatiosta vektoriavaruuksissa (id_V: V → V), ja se on automorfi. Kaiken kaikkiaan identiteettifunktio on yksinkertainen, mutta keskeinen käsite matematiikassa.