heltalsmängd

Heltalsmängden, ofta betecknad Z, är mängden av alla heltal: Z = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }. Den inkluderar negativa heltal, noll och positiva heltal. Det är en oändlig, diskret mängd som sträcker sig i båda riktningarna längs talskalan.

Z är en undergrupp av de rationella talen Q och av de reella talen R, och fungerar som en ring under addition och multiplikation. Den är en kommutativ ring med enhet och saknar nolldivisor, vilket gör att den är ett exempel på en integral domän. Z är också ett centralt exempel inom talteori, aritmetik och algebraiska strukturer.

Notation och konstruktion: vanligen skrivs Z utan bokstaveringarna, och mängden kan definieras som alla tal av formen a−b där a och b är naturliga tal. En annan uppbyggnad är att Z är kvotmängden av N×N under relationen (a,b) ~ (c,d) om a+d=c+b.

Storlek och ordning: antal element i Z är lika med antalet naturliga tal, dvs. mängden är räknbar (countably infinite). Heltalsmängden utgör en heltalslinje med nollan som mitpunkt och positiva respektive negativa delar.

Användning: hittas i nästan all matematik som involverar heltal, inklusive modulär aritmetik, talteori, diophantiska ekvationer och konstruktion av andra numeriska strukturer. Att förstå Z bildar grunden för många vidare begrepp som naturliga sätt att beskriva heltalens aritmetik och ordning.