gammafunktsioon

Gammafunktsioon, Γ(z), on kompleksne funktsioon, mis üldistab faktoriaali mõistet. Selle enim kasutatav määratlus on Euleri integraal teisest liigist: Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt, kus Re(z) > 0. Funktsioon jätkub analüütiliselt üle kogu kompleksarvude ruumi, välja arvatud mitte-positiivsetel täisarvudel z = 0, -1, -2, …, kus sellel on polaarsed punktid.

Omadused hõlmavad rekursiivset seost Γ(z+1) = z Γ(z). Seetõttu on igal positiivselt täisarvul n Γ(n) = (n-1)!, ehk Γ(n) on faktoriaali väärtus. Γfunktsioon seob ka Beta-funktsiooniga: B(p,q) = Γ(p) Γ(q) / Γ(p+q).

Olulised identiteedid hõlmavad refleksioonivalemit Γ(z) Γ(1−z) = π / sin(π z) ja Weierstraassi toodet 1/Γ(z) = z e^{γ z} ∏_{n=1}^∞ (1 + z/n) e^{−z/n}, kus γ on Euler-Mascheroni konstant. Γ on tihedalt seotud ka probabilistikas ja statistikas, kus jagunemised nagu gamma- ja beta-jaotused on defineeritud tänu sellele funktsioonile.

Asümptootika ja arvutuslikud omadused hõlmavad Stirlingi valemit: Γ(z) ~ √(2π) z^{z−1/2} e^{−z} kui z → ∞, kus arg z on piiratud. See võimaldab hinnata Γ(z) suurte argumentide korral ning on kasutatav ka kompleksalgebra ja analüüsi rakendustes. Gammafunktsioon on põhivahend mitmes matemaatikas ja loodusteadustes ning mängib keskset rolli näiteks küllastuste, tõenäosus- ja tihedusfunktsioonide määratlemisel.