betajaotused

Beeta jaotused on kontinuaalsed tõenäosusjaotused, mille väärtused asuvad vahemikus 0 kuni 1. Neid kirjeldavad kaks positiivset kujundparameetrit a > 0 ja b > 0. Tihedusfunktsioon on f(x; a,b) = x^{a-1} (1-x)^{b-1} / B(a,b), kus B on beeta-funktsioon ning B(a,b) = Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b). Tihedus kehtib 0 < x < 1; CDF-d kasutatakse reguleeritud beeta funktsiooni I_x(a,b) abil.

Beeta jaotuse olulised omadused: oodatav väärtus E[X] = a/(a+b) ja lõplikud momendid sõltuvad a ja b. Varianss on Var(X) = ab/[(a+b)^2 (a+b+1)]. Mood on (a-1)/(a+b-2) kui mõlemad a ja b on suuremad kui 1; kui üks parameetritest on 1 või vähem, võivad mood jaotuse servades asuda 0 või 1.

Seosed jaotustega: beeta jaotus on sümmeetriline, kui a = b, ja muutub ühtlaseks jaotuseks 0–1, kui a = b = 1. Bayesi statistikas on beeta jaotus märkimisväärne prior p beeta- jaotusele Binomial- või Bernoulli-tüüpi tõenäosusmudelites, kuna see on konjugaatne. Laiendatult on beeta jaotus Dirichlet jaotuse kahekomponentne erijuht.

Kasutusvaldkonnad hõlmavad proportsioonide ja tõenäosuslike parameetrite modelleerimist ning priorite teadmiste kaasamist erinevates statistilistes analüüsides. Beeta jaotused pakuvad paindlikku viisi esindada teadmisi, mis peegeldavad nii keskväärtust kui ka haavatavust äärmuste jaotuses.