funksjonaler

Funksjonal (flertall: funksjonalene eller funksjonaler) er et begrep i matematikk som beskriver en kartlegging fra et rom av funksjoner til tall, ofte real- eller kompleksverdier. En funksjonal L tar en funksjon f og returnerer et tall L(f). Når L også oppfyller linearitet, kalles den en lineær funksjonal: L(αf + βg) = αL(f) + βL(g) for alle funksjoner f og g og skalarer α og β.

Domene og codom: Funksjonalens domene er vanligvis et vektorrom av funksjoner, for eksempel C[a,b] (kontinuerlige funksjoner på et lukket intervall), L^p-rom, eller andre funksjonsrom. Kodomen er ofte real- eller kompleksfeltet. I praksis brukes funksjonaler til å måle eller kombinere egenskaper ved funksjoner i et system.

Vanlige eksempler: Evalueringsfunksjonalen L_x0 definert ved L_x0(f) = f(x0) for et fast punkt x0 i domenet. En annen vanlig funksjonal er integralfunksjonal L(f) = ∫_a^b f(x) w(x) dx, hvor w er et vektor eller kontrollfunksjon. Slike funksjonal er viktige i analyse og variational problems.

Kontinuitet og dualrom: I normerte rom er alle kontinuerlige lineære funksjonaler-bindende (absolutt begrensede). Mengden av alle kontinuerlige lineære funksjonaler på et normert rom X betegnes X*, altså dualrommet til X. I Hilbertrom brukes ofte Riesz-estsjetasjonssteoremet, som sier at hver kontinuerlig lineær funksjonal kan representeres som indreprodukt med en unik vektor i rommet. For L^p-rom blir dualrommet L^q under betingelsen 1/p + 1/q = 1.

Anvendelser: Funksjonal brukes i optimering, variational calculus, og i studiet av funksjonsrom og deres egenskaper. De gir rammeverk for å måle energi, arbeid, slagstyrke eller andre mål som avhenger av hele funksjoner, ikke bare avpunkter.