functiesamenstelling

Functiesamenstelling is een bewerking uit de wiskunde waarbij twee functies achter elkaar worden toegepast. Als g een functie is van een verzameling A naar B en f een functie van B naar C, dan is de samenstelling f ∘ g een functie van A naar C, waarbij (f ∘ g)(x) = f(g(x)) voor alle x in A. De notatie f ∘ g wordt veel gebruikt; soms spreekt men ook van de samengestelde functie.

Domein en codomein: Als g: A → B en f: B → C, dan geldt f ∘ g: A → C. Het domein van f ∘ g is het domein van g en de codomein is de codomein van f. De samenstelling is alleen zinvol waar g(x) in het domein van f ligt.

Eigenschappen: De samenstelling is over het algemeen niet commutatief; f ∘ g hoeft niet gelijk te zijn aan g ∘ f. Wel is deze associatief: f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h, mits de functies zodanig zijn gedefinieerd. De identiteitsfunctie id_X speelt een belangrijke rol: f ∘ id_X = f en id_Y ∘ f = f.

Voorbeelden: Laat g(x) = x + 2 en f(y) = y^2. Dan (f ∘ g)(x) = (x + 2)^2. Een ander voorbeeld is f(y) = sin(y) en g(x) = x^2, zodat (f ∘ g)(x) = sin(x^2).

Toepassingen: Functiesamenstelling is fundamenteel in calculus (kettingregel voor afgeleiden), algebra en in het modelleren van samengestelde processen. Het concept vormt ook de basis van abstracte structuren zoals categorieën, waarin associativiteit en identiteit centraal staan.

Zie ook: functie, samenstelling van functies, identiteitsfunctie.