familjefunktion

En familjefunktion, eller en familj av funktioner, är en samling funktioner från en gemensam domän till en gemensam måldomän som definieras genom en parameteruppsättning. Vanligen betecknas den som F = { f_p : X → Y | p ∈ P }, där X är domänen, Y är målet och P är en parameter­mängd. Varje val av parametern p ger en specifik funktion f_p i familjen. I formella sammanhang kan man också uttrycka familjen som en tvåvariabelsfunktion F: P × X → Y med F(p, x) = f_p(x).

Exempel: den linjära familjen f_{a,b}(x) = a x + b, där parametrarna (a, b) tillhör R^2; en enklare en-parameterfamilj är f_t(x) = t x^2 för t ∈ R; eller sinusfamiljen { sin(n x) : n ∈ N }; en annan välkänd sannolikhetsbaserad familj är normalfördelningens tätheter f_{μ,σ}(x) = (1/(σ√(2π))) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)).

Användningar och egenskaper: familjer används för att studera hur funktioner förändras när parametern varierar, och för att definiera olika typer av konvergens (punktvis eller uniform) inom en familj. Inom analys, statistik och maskininlärning är begreppet centralt när man arbetar med rum av funktioner eller med modeller som är parametriserade.