faktoriseerimissüsteemi

Faktoriseerimissüsteem (tähistatakse tavaliselt kui (E, M)) on kategoorias C esinev paar morfismide klasse, mis kirjeldab, kuidas iga morfism saab jagada kahe osa vahel. See mõiste on oluline konstruktsioon teoorias, kus soovitakse üldistatud „faktori” arhailist poolest.

Kolm peamist nõuet:

1) Iga morfism f: A → B saab faktoreerida kujul f = m ∘ e, kus e kuulub klassi E ja m kuulub klassi M.

2) Vasak tõstmise omadus: kui e ∈ E ja m ∈ M ning moodustub commutatiivne ruut, siis on olemas diagonaaltäide d, mis muudab ruudu kõik neli külge kooskõlaliseks. St E-l on M vastu vasak tõstmiseks ning M-ile omakorda on E vastu õige tõstmisõigus.

3) E ja M sisaldavad kõiki isomorfe ja on koostistega suletud omadused (st nende sulgumine koosmõjude ja isomorfi jaoks).

Mõned olulised omadused:

- Factorization system on tavaliselt kohusetäitja ja mitte ainult teoreetiline; need annavad struktureeritud viisi morfismide jagamiseks.

- E mittekahjustavate omaduste olemus sõltub kategooriast; tihti kasutatakse tugevaima, et E-l ja M-l oleksid kasulikud tõstmisomadused.

- Sageli esinevad erialad soosivate näidetena (Set, Ab, Top), kus morfismide eraldi klassid nagu epimorfismid/monomorfismid või surjektsioonid/mitte-surjektsioonid teevad konkreetse faktoriseerimissüsteemi.

Näited:

- Set: E on epimorfismid (surjektsioonid) ja M on monomorfismid (injektsioonid). Iga funktsioon faktoreerub surjektsioonina pildi kaudu ja selle järel on sisse ehitatud monomorfism pildi kaasatusse.

- Ab (rühmade kategooria): similarly, E – epimorfismid, M – monomorfismid.

- Top: E – jätkuvad epimorfismid, M – embeding/monomorfismid; iga map faktoreerub ülemise osa surjektsiooni ja alumise osa kaasatusena.

Faktoriseerimissüsteemid annavad raami, mille abil mõista ja töödelda morfismide struktuuri kategooriates.