extrempunkt

Extrempunkt eines konvexen Satzes C in einem Vektorraum ist ein Punkt x in C, der sich nicht als eine nichttriviale konvexe Mischung zweier verschiedener Punkte aus C darstellen lässt. Formal gilt: Falls x = t y + (1−t) z mit y und z in C und 0 < t < 1, dann müssen y = z = x sein. Diese Eigenschaft fasst die Idee zusammen, dass der Punkt nicht als innerer Anteil zweier anderer Punkte von C in derselben Weise vorkommt.

Beispiele und Intuition: In einem konvexen Polygon in einem Euclidean-Raum sind die Extrempunkte genau die Ecken des Polygons. In einer geschlossenen Scheibe (Disk) in der Ebene sind alle Randpunkte Extrempunkte, da der Rand einer strikt konvexen Menge entspricht. Allgemein hängt die Zugehörigkeit eines Punktes zu den Extrempunkten stark von der Geometrie von C ab: Polytopien haben eine endliche Anzahl von Extrempunkten, während glatte, strikt konvexe Mengen unendlich viele Extrempunkte auf dem Rand besitzen können.

Beziehungen und Theoreme: Ein zentrales Ergebnis ist der Satz von Krein und Milman: In einem kompakten konvexen Unterraum eines topologischen Vektorraums ist C die abgeschlossene konvexe Hülle ihrer Extrempunkte. In endlichen Dimensionen bedeutet dies, dass jedes Punkt aus einer konvexen Polytope als konvexe Mischung ihrer Extrempunkte dargestellt wird; bei einem Polytope entsprechen die Extrempunkte seinen Eckpunkten. Nach Carathéodorys Satz genügt in R^n eine konvexe Mischung aus höchstens n+1 Punkten aus der Menge, um jeden Punkt im konvexen Hull auszudrücken.

Anwendung: In der linearen Programmierung sind optimale Lösungen häufig an Extrempunkten des zulässigen Bereichs zu finden; unter milden Voraussetzungen existiert ein Optimum und es kann an einem Extrempunkt erreicht werden. Extrempunkte liefern damit zentrale Orientierungspunkte in der konvexen Analysis und Optimierung.