entropilösningar

Entropilösningar, eller entropi-lösningar, är en särskild typ av svaga lösningar till hyperboliska bevaringslagar som uppfyller en ekstra entropikravning. Dessa krav är avsedda att utesluta icke-fysikaliska lösningar som uppstår när skarpa gradienter utvecklas till schockvågor och bubblor. Begreppet används framför allt för enrumsliknande bevaringslagar och deras system, där det kan uppstå singulariteter.

En vanlig matematiskt uttryckt modell är u_t + f(u)_x = 0, där u(t,x) är tillståndet och f är fluxen. En entropilösning uppfyller inte bara den svaga formens bevarande av u, utan uppfyller också en entropi-inekvation: ∂t η(u) + ∂x q(u) ≤ 0 i distributionsgrafen, för alla konvexa entropier η med motsvarande entropiflux q som uppfyller q'(u) = η'(u) f'(u). För skalar bevaringslagar ges ofta Kruzhkovs formulation i form av oändlig familj av ojämlikheter, t.ex. ∂t|u−k| + ∂x(sign(u−k)(f(u)−f(k))) ≤ 0 för alla konstantor k.

Existens och unikthet har visats för skalarlagar: entropilösningar existerar och är unika, och de uppfyller L1-kontraktion, vilket innebär att små förändringar i initialvillkoren inte förstoras. För system av bevaringslagar är situationen mer komplex; entropi-krav måste bygga på passande entropipar och kan inte alltid garantera unikt val av lösning utan extra struktur.

Användningar finns inom gasdynamik, trafikflöden, ytvatten och andra tillstånd där skarp front utvecklas. Numeriska metoder som monotone skenor och Godunov-scheman syftar ofta till att bevara entropi-egenskaperna i aproximationslösningar.