enhetsvektorerna

Enhetsvektorerna, eller unit vectors på engelska, är vektorer med längden enhet (normen är 1). I rymden definieras de ofta som \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) och \(\mathbf{k}\) i de kartezyanska koordinaterna, där \(\mathbf{i}\) pekar längs x‑axeln, \(\mathbf{j}\) längs y‑axeln och \(\mathbf{k}\) längs z‑axeln. Dessa vektorer är ortogonala mot varandra och bildar ett ortonormalt bas.

I andra koordinatsystem anpassas enhetsvektorerna efter koordinatens natur. I polära koordinater används \(\mathbf{e}_r\) (radial) och \(\mathbf{e}_\theta\) (tangentiell); i sfäriska koordinater används \(\mathbf{e}_r\), \(\mathbf{e}_\theta\) och \(\mathbf{e}_\phi\). Varje enhetsvektor beskriver huvudriktningen för motsvarande koordinat, men har fortfarande längden enhet trots eventuella förändringar i vänsterhandregeln eller andra koordinatvarianter.

Enheter vektorer är praktiska eftersom de förenklar vektorberäkningar. En godtycklig vektor kan skrivas som linjärt kombinerad med enhetsvektorer, t.ex. \(\mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}\). Detta gör det möjligt att isolera komponenter, utföra skalärproduktion eller beräkna vektorprodukten med hjälp av kunskap om deras ortogonalitet och längder.

I fysiken används enhetsvektorer för att beskriva riktningar för krafter, hastigheter, accelerationer och elektriska/vågladdna fält. I linjär algebra fungerar de som grundläggande byggstenar i basvektorutrymmen och hjälper vid definiering av koordinatssystem, transformationer och diagonaliseringsproblem.

Snabb referens: normen för en vector \(\mathbf{v}\) får ett enhetsvektor \(\hat{\mathbf{v}} = \mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|\). Denna operation standardiserar riktning samtidigt som längden normaliseras till enhet.