eliminointimenetelmillä

Eliminointimenetelmät viittaavat joukkoon matemaattisia tekniikoita, joita käytetään lineaaristen yhtälöryhmien ratkaisemiseen. Yleisin ja tunnetuin menetelmä on Gaussin eliminointi. Ideana on muokata yhtälöryhmää käyttämällä elementaarisia rivioperaatioita niin, että saadaan porrasmainen tai redusoitu porrasmainen matriisimuoto. Tämän jälkeen ratkaisut voidaan lukea suoraan tai ratkaista takaisinsijoituksella.

Gaussin eliminointi etenee tyypillisesti siten, että ensimmäisen muuttujan kertoimeksi ensimmäisessä yhtälössä tehdään ykkönen ja sen alapuolella olevien yhtälöiden vastaavat kertoimet nollataan. Prosessia jatketaan seuraavien muuttujien ja yhtälöiden osalta, kunnes matriisi on porrasmuodossa. Gauss-Jordanin eliminointi puolestaan vie prosessia pidemmälle siten, että myös pivot-elementtien yläpuolella olevat kertoimet tehdään nolliksi, jolloin saadaan redusoitu porrasmuoto ja ratkaisu suoraan identiteettimatriisin rinnalle.

Nämä menetelmät ovat keskeisiä lineaarialgebrassa ja niitä käytetään monissa sovelluksissa, kuten laskennallisessa geometriassa, optimoinnissa ja fysiikan ongelmien mallintamisessa. Menetelmien tehokkuus riippuu yhtälöryhmän koosta ja rakenteesta. Ne ovat algoritmisia, mikä tekee niistä sopivia tietokonesovelluksiin.