eksponentaalseid

Eksponentaalsed funktsioonid on matemaatilised funktsioonid, mille väärtus kasvab või kahandub proportsionaalselt oma hetkeseisundiga. Ülds vorm on y = a b^x, kus a > 0 ja b > 0, b ≠ 1. Kui base on e, on tegemist naturaalse eksponentaalse funktsiooniga y = e^x.

Omadused: Eksponentaalsed funktsioonid on pidevad ja igal x-ile deriivsed. Derivaat on d/dx a^x = a^x ln(a) ja erijuhtumil d/dx e^x = e^x. Funktsioonidel on pöördväärtusena logaritm: inversiooniks on log_b(y). Domeen on R ning väärtuste vahemik on y > 0, kui a > 0.

Kasv ja kahandumus: kui b > 1, kasvab funktsioon igal sammul; kui 0 < b < 1, kahandub. Täiendav tegur a suurendab või vähendab algväärtust, kuid ei muuda kasvu suunda, kui a > 0.

Graafik ja tingimused: y = a b^x omab horisontaalset asümptoti y = 0 (kui a > 0 ja b > 1; samuti vastavalt b < 1 puhul), ning selle kujund sõltub base’i b vahemikust. Funktsioonid on kontinuaalsed ja neil on negatiivseteks väärtuste jaoks normaalset tähendust vähem, kui a > 0.

Rakendused: eksponentaalsed funktsioonid kirjeldavad populatsioonikasvu, pidevat liitintressi ja radioaktiivset lagunemist. Nad lahendavad ka paljusid diferentsiaalvõrrandeid, näiteks dy/dx = k y, mille lahenduseks on y = C e^{k x}. Naturaalse eksponentaali omadused muudavad selle matemaatilise mudeldamise ja arvutuste jaoks sageli eelistatud.