eieuklidinen

Eiuklidinen geometria, tai ei-euklidinen geometria, on geometrian ala, joka tutkii tilaa ja muotoja ilman, että euklidisen geometrian viides postulaatti on voimassa. Euklidisen geometrian mukaan yhdellä pisteellä viivojen rinnalla voidaan piirtää yksikäsitteisesti rinnakkainen viiva, mutta ei-euklidisessa geometriassa tämä postulaatti korvataan vaihtoehdoilla. Keskeiset tuotokset jakautuvat kahteen päätyyppiin: hyperboliseen geometriaan ja elliptiseen geometriaan.

Hyperbolinen geometria kuvaa tilaa, jossa rinnakkaisia viivoja voidaan olla useita sille samalle viivalle piirtäviä pituuden ja etäisyyden määritelmämenetelmien mukaan. Tälle tyypille ominaisia piirteitä ovat pienentynyt muodonmuutos ja siihen liittyvä, että kolmen pisteen muodostama kolmio voi omata suuremman kuin kaavan perusteella odotetun kulmien summan. Elliptinen geometria puolestaan kuvaa suljettua tilaa, jossa kaikki viivat leikkaavat toisensa jossain pisteessä; käytännössä elliptinen geometria toteutuu pallopintojen geometrian kautta, kuten maapallon pinnalla. Siellä ei ole lainkaan rinnakkaisia viivoja.

Historia ja kehitys: 1800-luvulla Nikolai Lobachevski ja János Bolyai kehittivät itsenäisesti hyperbolisen geometrian, kun taas Eugenio Beltrami myöhemmin osoitti käytännön yhteyden tämän ja euklidisen geometrian välillä. Gauss oli varhaisena vaikuttajana, ja tulokset saivat laajaa hyväksyntää 1800-luvun lopulla. Välineinä käytettiin erilaisia malleja ja karttoja, jotka auttoivat edustamaan ei-euklidista tilaa.

Mallien ja sovellusten kautta ei-euklidinen geometria on keskeinen osa yleistä suhteellisuusteoriaa ja kosmologiaa, sekä matematiikan tutkimuksesta että käytännön mittauksissa, kuten kartografia ja suurisuunnittelun laskelmat, joissa tilan kaarevuus tulee ottaa huomioon. Paikallisesti tilan voidaan nähdä olevan likimääräisesti euklidinen, mutta suuremmissa skaalauksissa kaarevuus ilmenee.