Eiuklidinen

Eiuklidinen geometria on geometrian ala, jossa ei noudateta Euklidisen geometrian viidettä postulaattia. Sen sijaan se tutkii tilan ja etäisyyden ominaisuuksia, jotka poikkeavat arkitason geometrian säännöistä. Yleisimmät muodot ovat hyperbolinen geometria, jossa on negatiivinen kaarevuus, sekä elliptinen geometria, jossa on positiivinen kaarevuus. Näitä järjestelmiä tarkastellaan axiomaattisina geometroina, jotka ovat loogisesti itsenäisiä Euklidisesta geometriasta mutta eivät ole ristiriidassa toistensa kanssa.

Hyperbolisessa geometriassa on negatiivinen kaarevuus: yhdestä pisteestä viivan ulkopuolella voidaan kulkea useita rinnakkaisia viivoja. Elliptisessä geometriassa ei ole lainkaan rinnakkaisia viivoja, sillä kaikki viivat leikkaavat toisensa.

Historia: 1800-luvulla János Bolyai ja Nikolai Lobachevsky kehittivät hyperbolisen geometrian, ja Bernhard Riemann kehitti yleisen geometrian käsitteen, joka johti elliptiseen geometriaan. Näitä malleja voidaan havainnollistaa: hyperboliselle geometralle Poincaré-diskimalli ja Klein-malli; elliptiselle geometralle pallomainen malli. Nämä mallit osoittavat, että eiuklidinen geometria on matemaattisella tasolla täysin johdonmukainen.

Sovellukset: eiuklidista geometriaa sovelletaan yleisessä suhteellisuusteoriassa, jossa tilan kaarevuus kuvaa gravitaatiota, sekä kosmologiassa ja kartografiassa erilaisten mallien kuvaamiseen. Se on perusta monille matematiikan ja fysiikan osa-alueille, jotka tutkivat tilan rakennetta.