diffusionskomponente

Diffusionskomponente bezeichnet in der stochastischen Analyse den Teil eines stochastischen Prozesses, der die zufälligen Schwankungen eines Zustands X_t erfasst. In einer gängigen Ito-Form eines SDE lautet dX_t = μ(X_t,t) dt + σ(X_t,t) dW_t, wobei μ die Driftkomponente (deterministische Änderung) ist und σ(X_t,t) die Diffusionskomponente. Häufig spricht man von der Diffusionskoeffizienten σ, dem Faktor, der die Größe der stochastischen Einwirkung angibt. Die Diffusionskomponente liefert die Zufallsstörung, die in kleinen Zeitintervallen zu Varianz in X_t führt; konkret ist die Varianz von dX_t ungefähr σ^2 dt.

Die Diffusionskomponente bestimmt zusammen mit μ die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsdichte p(x,t). Die zugehörige Fokker-Planck- bzw. forward-Kolmogorov-Gleichung lautet ∂p/∂t = -∂(μ p)/∂x + (1/2) ∂^2(σ^2 p)/∂x^2.

Anwendung: In der Finanzmathematik modelliert dS_t = μ S_t dt + σ S_t dW_t die Entwicklung von Aktienkursen, wobei σ S_t die Diffusionskomponente ist; in der Physik beschreibt σ die zufällige Bewegung von Teilchen; in der Biologie kann sie Fluktuationen in Populationsgrößen darstellen.

Die Diffusionskomponente unterscheidet sich von der Drift; deterministische Modelle enthalten sie nicht. Parameter werden oft mittels Maximum-Likelihood oder Bayes-Schätzung bestimmt; numerisch lässt sich das SDE-Modell mit dem Euler-Maruyama-Verfahren simulieren.