diferentiaaliyhtälöt

Diferentiaaliyhtälöt ovat matematiikan käsitteitä, jotka liittyvät muutosilmiöiden mallintamiseen ja kuvaavat, miten tuntematon funktio ja sen derivaatat ovat vuorovaikutuksessa. Ne ovat keskeisiä monilla aloilla, kuten fysiikassa, tekniikassa, biologiassa ja taloustieteessä. Yleisesti ne jaotellaan kahteen päätyyppiin: yhden muuttujan differaaliyhtälöihin (ODE) ja useamman muuttujan osittaisdifferentiaaliyhtälöihin (PDE). ODE:t riippuvat yhdestä muuttujasta, ja korkein derivaatta määrittää järjestyksen. Esimerkki: dy/dx = k y, jonka ratkaisu on y = C e^{k x}. ODE:ita voidaan luokitella lineaarisiin ja epälineaarisiin sekä homogeenisiin ja epähomogeenisiin.

PDE:t käsittelevät useampaa ulottuvuutta; klassisia esimerkkejä ovat Laplace’n yhtälö ∇^2 φ = 0, lämpöyhtälö ∂u/∂t = α ∇^2 u sekä aaltoliike. Ratkaisutapoja ovat analyyttiset menetelmät kuten erotusmenetelmät ja ominaisarvot sekä numeeriset menetelmät kuten Eulerin menetelmä ja Runge–Kutta -menetelmät ODE-ongelmiin. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyystulokset varmistavat, että tietyillä ehdoilla ratkaisu on olemassa ja yksikäsitteinen.

Diferentiaaliyhtälöt tarjoavat työkalun mallintaa dynamiikkaa sekä ymmärtää ilmiöiden vasteita ja ennusteita sovelluksissa mekaniikasta biologiaan ja talouteen.