diferenierea

Diferenierea in matematica este procesul de calcul al derivatei unei functii, reprezentand rata de schimbare instantanee a valorii functiei. Derivata f'(x) masoara panta tangentii la graficul lui f in punctul x si poate fi definita ca limita: lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h, daca aceasta limita exista. Daca f este derivabila pe un interval, se spune ca este differentiabila pe acel interval.

Notatii: derivata se noteaza frecvent f'(x), df/dx sau Df(x). Pentru functii cu mai multi parametri se folosesc derivate partiale ∂f/∂x, ∂f/∂y etc., iar gradientul ∇f si Jacobianul sunt concepte asociate.

Reguli de baza includ: derivata unei constante este zero; d/dx x^n = n x^(n-1); (f+g)' = f' + g'; (fg)' = f'g + fg'; (f/g)' = (f'g - fg')/g^2; lantul: (f(g(x)))' = f'(g(x)) g'(x). Exemplu: (x^2)' = 2x; (sin x)' = cos x.

Derivatele de ordin superior (de ex. f''(x)) descriu cum se modifica derivata; in multe contexte se lucreaza si cu derivate partiale, gradientul ∇f, Jacobianul si matricea Hessian pentru functii cu mai multe variabile. In analiza vectoriala, ratele de schimb directionale si aproximarea liniara a functiilor folosesc aceste concepte.

Relatii si proprietati: o functie este differentiabila intr-un punct daca derivata exista acolo; in particular, differentiabilitatea implica continuitatea, dar o functie continua nu este neaparat differentiabila. Aplicatii: fizica (viteza, acceleratie), economie (cost si venit marginali), biologie (rata de crestere), optimizare si modelare.