diagonalização

Diagonalização é o processo de representar uma matriz quadrada A como A = P D P^{-1}, com P invertível e D diagonal. Diz-se que A é diagonalizável sobre um corpo F se existe P com entradas em F e D com entradas em F tais que P^{-1} A P = D.

Isso ocorre quando existe uma base de F^n formada por autovetores de A, ou, equivalentemente, quando a soma direta dos espaços próprios tem dimensão n. É equivalente à condição de que a multiplicidade geométrica de cada autovalor λ seja igual à sua multiplicidade algébrica. Também se verifica que o polinômio mínimo de A não possui fatores lineares repetidos.

Se A tem n autovalores distintos, A é diagonalizável. Casos especiais: matrizes reais simétricas são diagonalizáveis por uma matriz ortogonal (A = Q D Q^T), pelo teorema espectral.

Como calcular: 1) determinar os autovalores λ resolvendo det(A − λI) = 0; 2) para cada λ_i, resolver (A − λ_i I) v = 0 para obter vetores próprios; 3) se houver n vetores próprios independentes, formar P com eles como colunas e D = diag(λ_1, ..., λ_n). A diagonalização facilita operações com A, por exemplo, A^k = P D^k P^{-1} e, para funções de A, f(A) = P f(D) P^{-1}.

Notas sobre campo: a diagonalização é feita sobre o corpo F. Se autovalores não são reais, a diagonalização ocorre sobre o campo complexo; sobre o campo real, nem sempre é possível obter uma matriz diagonal com entradas reais.