diagonaliseeritavasta

Diagonaliseeritava (diagonalisoitava) tarkoittaa lineaarisen algebran kontekstissa matriisia tai operaattoria, joka voidaan esittää diagonaalisessa muodossa. Matriisi A ∈ F^{n×n} on diagonaliseeritava, jos on invertible P ∈ GL(n,F) such that P^{-1} A P = D, missä D on diagonaalinen. Tällöin A voi kuvata kaikki ne vaikutukset samalla perusvaihdolla, ja A:n toiminta yksinkertaistuu, kun sitä tarkastellaan diagonaalissa esityksessä.

Toinen tapa sanoa on, että A on diagonaliseeritava, jos sen ominaisvektoreista muodostuva joukko voi muodostaa koko tilan basisin. Tämä tarkoittaa, että jokainen vektori voidaan esittää ominaisvektoreiden lineaarisena yhdistelmänä, ja A:n toiminnot ovat tällöin yksinkertaisesti skaalauksia ko. ominaisvektoreille. Tämä syntyy, kun jokaisen ominaisarvon geometrinen kertalukuus on yhtä kuin sen algebraallinen kertalukuus, jolloin Jordan-kirjo muodostuu diagonaaliseksi.

Keskeiset karakterisoinnit ovat: matriisi on diagonaliseeritava, jos ja vain jos sen pienpolynomi on jaettu erillisten lineaarien tekijöiden kanssa (ei toistuvia juuria), tai equivalently Jordan-muoto on diagonaalinen. Erityistapauksia: kompleksiformaatissa A, jolla on n erilaista ominaisarvoa, on aina diagonalisoituva. Normalit matriisit (A* A = A A*) ovat yksikködiagonalisoituvia; Hermitian-matriisit ovat diagonaalisesti reaalisia ominaisarvoillaan. Real Matrixin tapauksessa diagonaaline esitys on saavutettavissa yleensä realin diagonaalisina arvoina, jos diagonalisoituminen on mahdollista.

Käytännössä diagonalisoitumisen tarkistamiseen ja laskemiseen ratkaistaan ominaisarvot ja ominaisvektorit, tarkistetaan eigenspace-tilojen koko ja mahdollinen Jordan-järjestys.ussein

---