Diagonaliseeritava

Diagonaliseeritava on lineaarialgebran käsite, jolla tarkoitetaan matriisia tai lineaarista operaattoria, joka voidaan esittää diagonaalisessa muodossa valitsemalla sopiva perusta. Tarkka määritelmä on, että matriisi A over field F on diagonaliseerattava, jos on olemassa invertible P ∈ GL(n, F) siten, että P^{-1} A P = D, missä D on diagonaalinen matriisi. Tällainen D antaa yhteisen, helposti käsiteltävän esityksen A:sta.

Monien perusehdojen mukaan diagonaliseerittävyyteen liittyy seuraavia equivalenssejä. On olemassa basis, joka koostuu A:n ominaisvektoreista, jolloin jokainen perusalkio on omaa vektoriaan vastaava eigenvektori ja koko tilan voi muodostaa näistä vektoreista. Lisäksi A on diagonaliseerattava over F, iff sen minimiterminoppi m_A(x) on jaollinen täysin lineaarisilla tekijöillä eli x-ruutu? tilanteessa; toisin sanottuna minimiterminoppi jakautuu lineaarisiksi tekijöiksi ilman toistoja. Tällöin jokainen eigenvalue λ täyttää, että algebraattinen kertaluku on yhtä suuri kuin geometrinen kertaluku sen vektoritason dimensiossa, ja kaikkien eigenarvojen kanssa löytyy riittävästi ominaisvektoreita.

Esimerkkejä: Matriisi A = diag(2, 3, 5) on selkeästi diagonaliseerattava. Toisaalta 2x2-matriisi [[1, 1], [0, 1]] ei ole diagonaliseerattavissa R- tai C- tai ylipäänsä F-field:llä, koska siinä on vain yksi eigenvektori eikä vakiotilaa riitä koko tilan muodostamiseen.

Käytännössä diagonalisaatio mahdollistaa A:n potenssien laskun: A^k = P D^k P^{-1}, mikä yksinkertaistaa sekä laskennan että analyysin. Yleensä diagonalisaatio yhdistetään ominaisarvoihin, ominaisvektoreihin ja minimiterminoppiin.