diagonaliseerbaarheid

Diagonalisering, of diagonaliseerbaarheid, is de eigenschap van een vierkante matrix A over een veld F (bijv. R of C) dat er een invertibele matrix P bestaat zodanig dat P^{-1}AP = D, waarbij D een diagonale matrix is. In dat geval spreken we van diagonaliseerbare A en van een diagonaliserende transformatie door P.

Equivalente karakterisering: A is diagonaliseerbaar als er een basis bestaat uit eigenvectoren van A. Dit houdt in dat de som van de dimensies van de eigenruimten gelijk is aan n, zodat de hele ruimte opgespannen wordt door eigenvectoren. Concreet: A is diagonaliseerbaar over F als het minimale veelterm m_A(x) over F splits in lineaire factoren met exponent 1 (dus geen herhaalde wortels). Over een algebraisch gesloten veld zoals C geldt: A is diagonaliseerbaar iff m_A(x) geen dubbele wortels heeft.

Praktijkregel: A is diagonaliseerbaar als er genoeg eigenvectoren zijn, oftewel de som van de afmetingen van de eigenruimten is gelijk aan n. In het bijzonder, als A twee verschillende eigenwaarden heeft, dan is A diagonaaliseerbaar.

Voorbeelden: de matrix [[2,0],[0,3]] is diagonaliseerbaar; [[2,1],[0,2]] is niet diagonaliseerbaar omdat de enige eigenwaarde 2 een algebraïsche multipliciteit van 2 heeft maar slechts één onafhankelijke eigenvector.

Real versus complex: een reële matrix kan diagonaliseerbaar zijn over R als alle eigenwaarden reëel zijn; vaak is diagonaliseerbaarheid over C mogelijk wanneer er voldoende onafhankelijke eigenvectoren zijn. In het algemeen hangt diagonaliseerbaarheid af van de eigenverdeling en de structuur van de minimale veelterm.