derivatiivisuuden

Derivatiivisuus (derivativiteetti) on ominaisuus, jossa funktiolla tai kartoituksella on määritelty derivaatta jossakin kohdassa tai alueella. Käytännössä kyse on siitä, miten function tarkastelu voidaan lähentää lineaarisesti pienissä hajautuksissa: muuttujaa muutetaan vähän ja katsotaan, miten funktion arvo muuttuu. Derivaatta kuvaa paikallista nopeutta ja suunnanmuutosta sekä tarjoaa lineaarisen approksimaation.

Yksinkertaisessa yhdysmuuttujien tapauksessa funktio f on derivatiivinen pisteessä x, jos raja limittä muuttujan pienen muutoksen ja arvolisäyksen suhteen exists. Tämän seurauksena derivaatta f'(x) on reaali- tai vektorilinjallinen kartoitus, ja funktio on jatkuva kyseisessä pisteessä. Differentiabiliteetti on vahvempi ominaisuus kuin pelkkä jatkuvuus; on mahdollista, että funktio on jatkuva mutta ei derivatiivinen.

Esimerkkejä: f(x) = x^2 on derivoituva kaikkialla, ja f'(x) = 2x. f(x) = |x| ei ole derivoituva X:llä x = 0; vasen derivaatta on -1 ja oikea +1. funktio f(x) = sqrt(x) on derivoituva (0, ∞): sen derivaatta on 1/(2 sqrt(x)).

Moniarvoisessa tapauksessa f: R^n -> R on derivoituva pisteessä a, jos on olemassa lineaarinen kartoitus Df(a) niin, että f(a+h) = f(a) + Df(a)[h] + o(||h||). Derivaatta tässä tapauksessa on gradientti (tai Jacobian-matriisi). Differentiabiliteetti luokitellaan yleensä C^k-, C^∞- tai analyyttisiin luokkiin. Epäjatkuvat tai kulmat, kuten huiput ja reunat, voivat aiheuttaa ei-derivatiivisyyden.