definierbarkeit

Definierbarkeit bezeichnet die Eigenschaft, durch eine Beschreibung oder eine formale Formel eindeutig bestimmt werden zu können. Der Begriff ist zentral in Logik, Mathematik, Linguistik und Informationswissenschaft und bezieht sich darauf, welche Objekte, Mengen oder Relationen innerhalb einer gegebenen Sprache oder Struktur definierbar sind. Definierbarkeit ist immer relativ zum verwendeten Sprachsystem; eine Entität kann in einer Struktur definierbar sein, in einer anderen Struktur jedoch nicht.

In der Logik und Mathematik bedeutet Definierbarkeit, dass es eine Formel φ(x) oder φ(x, ā) gibt, so dass das gewünschte Objekt oder die gewünschte Menge genau durch die Wahrheitsbedingungen von φ bestimmt wird. Eine Menge S in einer Struktur M ist definierbar, wenn es eine Formel φ(x) gibt mit S = {a in M | M |= φ(a)}. Ein Element a ist über einem Parameterraum A definierbar, wenn es eine Formel φ(x, ā) mit ā aus A gibt, so dass M |= φ(a, ā) und für jedes b gilt: M |= φ(b, ā) nur wenn b=a. Wird kein Parameter benötigt, spricht man von definierbar ohne Parameter.

Definierbarkeit spiegelt auch symmetrische Eigenschaften wider: Objekte, die durch Automorphismen der Struktur austauschbar sind, sind nicht durch Formeln unterscheidbar und bleiben undefinierbar ohne zusätzliche Parameter. Die Ausdruckskraft der Sprache erhöht tendenziell den Umfang der definierbaren Objekte, während Einschränkungen der Sprache zu Einschränkungen der Definierbarkeit führen.

Anwendungen finden sich in der Modelltheorie, der Ontologien- und Datenbanktheorie sowie in der Semantik der Linguistik. Definierbarkeit dient dort der formalen Charakterisierung von Begriffen, Abfragen und Terminologien. Siehe auch: Modelltheorie, definierbare Mengen, explizite Definierbarkeit, definierte Typen.