bunnpunkter

En bunnpunkt (plural bunnpunkter) är en punkt i en funktions domän där funktionen når ett lokalt lägsta värde i en närliggande omgivning. Mer formellt: x* är en bunnpunkt av f om det finns ett öppet intervall runt x* sådant att f(x*) ≤ f(x) för alla x i den omgivningen. Om f(x*) ≤ f(x) för alla x i hela domänen kallas det globalt minimum.

För differentiella funktioner uppträder ofta bunnpunkter som kritiska punkter där derivatan är noll eller där den inte existerar. I endimensionella fall gäller: om f'(x*) = 0 och f''(x*) > 0 så är x* en strikt lokal bunnpunkt; om f''(x*) < 0 är x* en lokal maximipunkt; om f''(x*) = 0 krävs oftare vidare analys. First-derivative testet säger att tecknet på f' ändras från negativt till positivt vid en lokal minpunkt.

I flerdimensionella fall f: R^n → R måste gradienten vid en bunnpunkt vara noll: ∇f(x*) = 0. Därefter avgör Hessianen Hf(x*) dess karaktär: om Hf(x*) är positivt definit är x* en strikt lokal bunnpunkt; om den är positiv semidefinit men inte definitiv krävs ofta ytterligare undersökning. Vid ändpunkter i domänen eller vid krav på begränsningar används särskilda tekniker.

Exempel: f(x) = x^2 har en unik global och lokal bunnpunkt vid x = 0. f(x) = |x| har en bunnpunkt vid x = 0 trots att derivatan inte existerar där. I två dimensioner har f(x, y) = x^2 + y^2 sin basen att minimera vid (0,0).

Användning: Bunnpunkter är centrala inom optimering, ekonomi och naturvetenskap. De hittas vanligtvis genom att lösa f'(x) = 0 (eller ∇f(x) = 0 i flera variabler) och sedan kontrollera teckenbyte eller Hessianens definithet. Vid begränsningar används metoder som Lagrange-multiplikatorer eller KKT-kriterier.