branchingprosesseihin

Branchingprosesseihin ovat stokastisia prosesseja, jotka kuvaavat populaation haarautumista ajan kuluessa. Yksinkertaisin malli on Galton–Watson-prosessi, jossa jokainen yksilö tuottaa satunnaisen määrän jälkeläisiä ja jälkeläiset seuraavat identtistä ja riippumatonta jakautumista. Mallissa määritellään offspring distribution p_k, eli todennäköisyys saada k jälkeläistä. Generaatiota kohti tapahtuvaa toimintaa kuvaa kasvufunktio f(s) = sum_k p_k s^k. Tutkimuksen keskeisiä kysymyksiä ovat muun muassa sukupolvi toisensa jälkeen tapahtuvan haarautumisen lopullinen tulos sekä mahdollisuus selviytymiseen.

Extinktio on keskeinen ilmiö tässä kontekstissa. Jos odotettu jälkeläisten määrä m = f′(1) on ≤ 1, populaation lopullinen loppuminen on todennäköisintä (extinktio on varma). Jos m > 1, on olemassa positiivinen todennäköisyys, että populaatio säilyy ja jopa kasvaa. Tämä johtuu siitä, että jakauma voi sallia suuria jälkeläiskertymiä, mikä voi johtaa epävarmuuteen ja pysyvyyteen.

Laajemmin branch ingprosesseihin voidaan tarkastella jatkuvan ajan malleja (kutsutaan usein Bellman–Harris- tai birth–death -prosesseiksi) sekä multi-tyyppisiä prosesseja, joissa yksilöiden ominaisuudet tai tyypit muuttuvat ja joissa merkkijärjestelmä on matriisi. Moitteet ja kokeelliset sovellukset ulottuvat biologiasta epidemiologiaan, solujen jakautumiseen ja geneettisiin malleihin sekä tietotekniikkaan ja verkostojen kasvuun. Galton–Watsonin perimätieto ja generatiiviset funktiot muodostavat vankan teoreettisen perustan branch ingprosesseihin, joita käsitellään laajasti stokastisissa malleissa.