binomikertoimia

Binomikertoimet, tavallisesti merkitty C(n,k) tai “n yli k”, määritellään seuraavasti: C(n,k) = n! / (k!(n−k)!), kun 0 ≤ k ≤ n. Määritelmä laajenee lisäksi tilanteisiin, joissa n tai k eivät ole kokonaislukuja, mutta käytännössä luku koskee 0 ≤ k ≤ n.

Käyttötarkoitus: Se kertoo, kuinka monella tavalla voidaan valita k-elementtinen alijoukko n-elementtisestä joukosta. Toisin sanoen C(n,k) on erilaisten k-alkioisten muodostelmien lukumäärä.

Ominaisuudet: C(n,0) = C(n,n) = 1. Symmetria: C(n,k) = C(n,n−k). Rekurenssi: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k).

Binomiaalinen teoreema: (x+y)^n = sum_{k=0}^{n} C(n,k) x^{n−k} y^k. Tämä yhdistää binomikertoimet polynomien laajennuksiin.

Laajennukset: Ei-kokonaislukujen binomikertoimet määritellään esimerkiksi C(n,k) = n(n−1)…(n−k+1)/k!, tai yleisemmin Gamma-funktion avulla: C(n,k) = Γ(n+1)/(Γ(k+1)Γ(n−k+1)). Tämän ansiosta binomikertoimia voidaan käyttää reaali- ja kompleksilukujen yhteydessä.

Historia: Nimi liittyy Blaise Pascaliin; binomikertoimia tutkitaan laajasti, ja ne tulevat esiin esimerkiksi Pascalin kolmiotasissa. Käytännössä ne ovat keskeisiä combinatorisissa laskelmissa, todennäköisyyslaskennassa ja polynomien ominaisuuksien tutkimuksessa.