bijetividade

Bijetividade é a propriedade de uma função f: A → B ser simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Uma função é injetiva se elementos diferentes de A têm imagens distintas em B; é sobrejetiva se todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Quando ambas as propriedades ocorrem, diz-se que f é bijetiva, estabelecendo uma correspondência uno-a-um entre os conjuntos A e B.

Toda bijetiva possui uma função inversa f^{-1}: B → A, tal que f^{-1}(f(a)) = a para todo a em A e f(f^{-1}(b)) = b para todo b em B. A inversa de uma bijetiva também é bijetiva. Essa característica implica que f cria uma correspondência biunívoca entre os elementos dos dois conjuntos.

Conseqüências importantes incluem a preservação de cardinalidade: se existe uma bijeção entre A e B, então A e B possuem o mesmo número de elementos. Em conjuntos finitos, uma bijeção entre dois conjuntos indica que eles têm exatamente o mesmo tamanho. Em termos práticos, bijetivas permitem uma troca completa de elementos entre os conjuntos sem perdas ou duplicações.

Exemplos clássicos: a função identidade f(x) = x de R para R é bijetiva. A função f(x) = x^2 não é bijetiva em R, mas, quando restrita a [0, ∞), é bijetiva de [0, ∞) para si mesma. No contexto de conjuntos finitos, uma bijeção de um conjunto para si mesmo é chamada de permutação.

Propriedades adicionais incluem que a composição de bijetivas é bijetiva, e o inverso de uma bijeção é também uma bijeção.