beröringspunkter

Beröringspunkter, eller tangentpunkter, är platser där två geometriska objekt möts och vid vilken de har samma riktning eller tangent. Dessa punkter betecknar första ordningens kontakt mellan objekten, och är ofta centrala när man studerar hur former placerar sig i förhållande till varandra.

I planet gäller beröringspunkter mellan två kurvor särskilt tydligt. För en differentiabel funktion y=f(x) och en linje y=mx+b är x0 en beröringspunkt om f(x0)=mx0+b och f′(x0)=m, alltså punkten där kurvan och linjen har samma y-värde och samma lutning. För kurvor definierade implicit av F(x,y)=0 är en punkt P=(x0,y0) en beröringspunkt om F(P)=0 och gradienten ∇F(P) inte är noll; då är tangentlinjen given av ∇F(P)·(X−P)=0.

Exempelvis är en linje tangent till en cirkel när avståndet från cirkelns centrum till linjen är lika med cirkelns radie. Punkten där den nedåtställda fullständigt verkar vara beröringspunkten, och den inre linjen från centrum är perpendicular mot tangenten vid den punkten.

I tre dimensioner överförs begreppet till ytor: för en yta definierad av F(x,y,z)=0 är tangentplanet i P givet av ∇F(P)·(X−P)=0, där ∇F(P) är normalen till tangentplanet. Höger kontakt kan vara av högre ordning; om två kurvor har samma första och andra derivator vid beröringspunkten säger man att de osculatorar, dvs har osculation.

Beröringspunkter används inom geometri, datorgrafik, CAD, optimering och mekanik där man bedömer hur former möts och interagerar.