automorfismit

Automorfismi ovat matemaattisia käsitteitä, jotka kuvaavat rakenteita säilyttäviä transformaatioita itsensä sisällä. Yksinkertaisesti sanottuna automorfismi on isomorfismi joukosta itsensä päälle. Tämä tarkoittaa, että automorfismi on bijektiivinen kuvaus, joka säilyttää kyseisen matemaattisen rakenteen operaatiot tai suhteet. Automorfismin käsite esiintyy useilla matematiikan aloilla, kuten ryhmäteoriassa, rengasteoriassa, algebrallisessa geometriassa ja topologiassa.

Ryhmäteoriassa automorfismi on ryhmän isomorfismi itsensä päälle. Jos G on ryhmä, sen automorfismiryhmä, jota merkitään Aut(G), koostuu kaikista G:n automorfismeista yhdistetyn kuvan operaation suhteen. Näitä automorfismeja ovat esimerkiksi sisäiset automorfismit, jotka ovat muotoa g -> xgx⁻¹ jollakin kiinteällä x ryhmässä G. Ulkoiset automorfismit ovat automorfismeja, jotka eivät ole sisäisiä.

Sanankäyttö "automorfismi" viittaa usein erityisesti abstraktiin algebraan. Kuitenkin laajemmassa mielessä sitä voidaan soveltaa myös muihin matemaattisiin objekteihin, joilla on määritelty rakenne. Esimerkiksi graafin automorfismi on graafin solmujen permutaatio, joka säilyttää vierekkäisyyden. Äärellisten kenttien automorfismit ovat keskeisiä algebrallisessa geometriassa ja lukuteoriassa. Automorfismien tutkimus auttaa ymmärtämään matemaattisten rakenteiden sisäistä symmetriaa ja ominaisuuksia.