antibumpfunktioner

Antibumpfunktioner er glatte funktioner, som i analyse bruges som en måde at “fjerne” en region uden at skabe skarpe spring i værdierne. Mere præcist beskrives en antibumpfunktion som en glat funktion f: R^n → R, der for en given lukket delmængde F ⊂ R^n er identisk med 0 i en neighborhood omkring F, og som uden for dette neighborhood kan være positiv (ikke identisk nul). Konceptet står i modsætning til en bumpfunktion, der typisk har kompakt støtte og er nonzero kun inden for en begrænset region.

En grundlæggende konstruktionsidé er, at for et simpelt eksempel i én dimension kan man lave en antibumpfunktion relative til F = [-1, 1] ved at sætte f(x) = 0 for |x| ≤ 1 og vælge en glat, positiv sekanlægning uden for intervallet, f.eks. f(x) = exp(-1/(x-1)^2) · exp(-1/(x+1)^2) for |x| > 1. Denne funktion er C∞ på hele R, er nul i en neighborhood omkring [-1,1], og er positiv uden for denne neighborhood. Mere generelt kan enhver lukket F behandles ved standard glat smoothing- eller partition-of-unity-teknikker, så der findes antibumpfunktioner, som er nul i en neighborhood af F og ikke-identisk nul uden for F.

Anvendelser inkluderer at modificere funktioner uden at ændre dem i en given zone, konstruktion af partition of unity i glatte kategorier, og i beviser inden for PDE og funktionelt analyse, hvor man ønsker at adskille eller “fjerne” bestemte områder uden at bryde glatheden.

Se også bumpfunktion, Urysohns lemmas i glat version, partition of unity.