akkumulationspunkt

Akkumulationspunkt, auch Grenzwertpunkt oder Häufungspunkt genannt, ist ein Begriff der Topologie und Analysis. Bezeichnet wird ein Punkt x, dessen Umgebung in einem Topologi-schen Raum so beschaffen ist, dass sie Schnittmengen mit einer gegebenen Menge S enthält, wobei zusätzlich ein Punkt der Schnittmenge ungleich x liegt. Formal: x ist Akkumulationspunkt von S, wenn jede Umgebung U von x die Eigenschaft U ∩ (S \ {x}) ≠ Ø hat. Damit gehört x zum Abschluss von S, und x kann auch außerhalb von S liegen.

In metrischen Räumen lässt sich die Definition anschaulich so formulieren: Für jeden ε > 0 gibt es y ∈ S mit y ≠ x und Dist(x, y) < ε. Die Akkumulationspunkte bilden zusammen die abgeleitete Menge von S. Die Abbildung der Abhängigkeiten zur Abschlussmenge gilt: x ist ein Akkumulationspunkt von S genau dann, wenn x ∈ cl(S \ {x}).

Akkumulationspunkte spielen auch bei Folgen eine zentrale Rolle. Eine Stelle x ist Akkumulationspunkt einer Folge (x_n), falls jede Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder enthält. Äquivalent existiert eine Teilfolge, die gegen x konvergiert. Hier liegt der Unterschied zum einfachen Grenzwert einer Folge darin, dass der Grenzwert L der Folge stärker gefordert ist (Abstände von L werden schließlich klein), während bei Akkumulationspunkten nur unendlich viele Glieder nah an x liegen müssen.

Beispiele: In den reellen Zahlen mit der normalen Metrik hat die Menge S = {1/n : n ∈ N} den Akkumulationspunkt 0. Eindeutig gilt: Eine endliche Menge hat in R in der Regel keinen Akkumulationspunkt; unendliche Mengen können Akkumulationspunkte besitzen. Die Menge der Akkumulationspunkte einer Menge wird als abgeleitete Menge bezeichnet.