additiivisuudesta

Additiivisuus (additiivisuus) tarkoittaa yleisesti sitä, että jokin operaatio säilyttää yhteenlaskun. Useimmiten kyse on funktioista, mittauksista tai todennäköisyydestä, jolloin additiivisuus tarkoittaa, että f(x + y) = f(x) + f(y) kaikilla soveltuvilla x ja y.

Additiivisuus funktiossa: Yleisessä muodossa ratkaistava on Cauchy-yhtälö f(x + y) = f(x) + f(y). Tällöin f(0) = 0 ja f(-x) = -f(x). Ilman lisäehtoja (kuten jatkuvuutta tai mitattavuutta) ratkaisut voivat olla hyvin monenlaisia; esimerkiksi jatkuvat tai mitattavat ratkaisut ovat muotoa f(x) = c x, jossa c on vakiotunnus. Additiivisuus yhdistetään usein lineaarisuuteen: additiivinen funktio ei vielä ole homogeeni kaikkia skalaarin kertomisia varten, ellei lisäksi päde f(ax) = a f(x) kaikille skaalauksille.

Mittauksissa ja todennäköisyydessä additiivisuus on oleellinen käsite: mitasta mu(A ∪ B) = mu(A) + mu(B) pätee erillisten joukkojen tapauksessa (disjoint). Yleisesti sanotaan täydestä additiivisuudesta tai σ-additiviteetista, jolloin sama pätee lukuisille äärellisille tai lukuisille joukkojen perheille. Todennäköisyydessä P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); jos A ja B ovat toisensa pois sulkevia, kaava yksinkertaistuu muotoon P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Suhteessa muuhun, additiivisuus on suurempi käsite, joka eroaa jaon mukaisesta homogeneisuudesta: lineaarisuus vaatii sekä additiivisuuden että skaalautuvuuden (f(cx) = c f(x)), kun taas additiivisuus yksinään ei riitä. Esimerkkejä: f(x) = x on additiivinen; f(x) = x^2 ei ole.