abelowych

Abelowych to przymiotnik używany w algebraie do opisania struktur, w których operacja jest przemienna. Najważniejsze zastosowania występują w grupach abelowych, ale pojęcie to pojawia się także w kontekstach takich jak moduły, algebry i niektóre kategorie matematyczne. Nazwa pochodzi od norweskiego matematyka Niels Henrika Abela.

Grupa abelowa to para (G, +), w której operacja + jest asocjacyjna, istnieje element neutralny 0 i odwrotność każdego elementu, a ponadto zachodzi przemienność: a + b = b + a dla wszystkich a, b w G. Zapis dodawania jest najczęściej addytywny, co odróżnia grupy abelowe od innych grup.

Przykłady obejmują (Z, +), (Q, +), (R, +) oraz grupy cykliczne Zn (dodawanie modulo n). Proste struktury takie jak te pokazują, że wiele obiektów matematycznych można traktować jako abelowe za pomocą wspólnej operacji.

Własności istotne: podgrupy i ilorazy każdej grupy abelowej również są abelowe; homomorfizmy między grupami abelowymi tworzą własne grupy abelowe. Klasyfikacja grup abelowych obejmuje wynik, że każda grupa abelowa skończona lub generywowana przez r elementów jest izomorficzna do Z^r ⊕ T, gdzie T jest torsyjna i rozkłada się na sumy cyklicznych.

W innych kontekstach Abelowe pojawiają się także w algebrze modułów nad pierścieniami komutatywnymi oraz w teorii kategorii (kategorie abelowe). Zastosowania obejmują teorię liczb, topologię (grupy homologiczne) i różne dziedziny matematyki teoretycznej.