Zustandsabschätzungen

Zustandsabschätzungen sind Verfahren zur Ermittlung verborgener Zustände dynamischer Systeme aus Messdaten, Modellbeschreibungen und Rauschannahmen. Typischerweise wird ein Zustandvektor x_k beschrieben, der relevante Größen des Systems umfasst, während Messungen y_k mit Rauschen v_k vorliegen. Ein Zustandsmodell besteht aus einer Systemdynamik x_k = f(x_{k-1}, u_k) + w_k und einer Messgleichung y_k = h(x_k) + v_k. Ziel ist die bestmögliche Schätzung von x_{k|k} bzw. x_{k|k-1} unter Unsicherheit.

Das Kalman-Filter-Konzept ist das bekannteste Verfahren. Bei linearen Modellen liefert es die minimale Varianz-Schätzung. In der Vorhersage werden x_hat_{k|k-1} = F x_hat_{k-1|k-1} + B u_k und P_{k|k-1} = F P_{k-1|k-1} F^T + Q berechnet; im Update wird der Innovationsvektor y_k − H x_hat_{k|k-1} genutzt, der Kalman-Gain K_k bestimmt die neue Schätzung x_hat_{k|k} und die Fehlerkovarianz P_{k|k}. Für nichtlineare Modelle kommen das Erweiterte Kalman-Filter (EKF) oder das Unscented Kalman-Filter (UKF) zum Einsatz; bei starken Nichtlinearitäten oder nicht-Gaussverteilungen oft Partikel-Filter.

Weitere Ansätze umfassen Ensemble Kalman Filter (EnKF), Moving-Horizon-Estimatoren und observer-basierte Methoden wie der Luenberger-Observer. Konzepte wie Observability, Identifiability, Stabilität und Robustheit beeinflussen Konstruktion, Initialisierung und Konvergenz.

Anwendungen finden sich in Navigation und Robotik, Fahrzeugführung, Luft- und Raumfahrt, Meteorologie, Signalverarbeitung sowie in ökonomischen Modellen, wo zeitnahe und präzise Zustandsabschätzungen entscheidend sind.