Zahlenbasen

Zahlensysteme, auch Zahlenbasen genannt, definieren, wie Werte durch eine Sequenz von Ziffern dargestellt werden. In einem posizionellen System besitzt jede Stelle einen Stellenwert, der eine Potenz der Basis b multipliziert. Die Ziffern reichen von 0 bis b-1. Die Basis bestimmt die Anzahl der Ziffern und die Größe der Stellenwerte. Die dargestellte Zahl ergibt sich aus der Summe der Ziffern mal b hoch der jeweiligen Position.

Gängige Basen sind die Dezimalbasis 10, die im Alltag verwendet wird; die Binärbasis 2, die in Computernalltag ist; die Hexadezimalbasis 16, die in der Informatik zur Kurzdarstellung von Speicheradressen genutzt wird; und die Oktalbasis 8. Für Basen größer als 10 werden häufig Buchstaben (z. B. A bis F in Basis 16) oder andere Symbole als zusätzliche Ziffern verwendet.

Zahlendarstellungen lassen sich durch Rechenoperationen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division in einer gegebenen Basis durchführen. Um Zahlen zwischen Basen umzurechnen, wandelt man sie oft erst in eine Zwischenform (häufig Dezimalbasis) um oder verwendet Verfahren der wiederholten Division und der Kürzung der Ziffern. Die Konzepte von Stellenwert und Radix gelten in jeder positionalen Basis.

Historisch gab es verschiedene Basen. Die Babylonier verwendeten ein sexagesimales (Basis 60) Zahlensystem, insbesondere für Zeit- und Winkelmaße. Die Maya nutzten ein vigesimales (Basis 20) System. Römische Ziffern sind kein positionales System. In der modernen Technologie spielen Basen 2 und 16 eine zentrale Rolle, während andere Basen in bestimmten Anwendungen auftreten, etwa Basis 8 in älteren Computerkontexten.

Neben den üblichen positionalen Systemen existieren auch Alternativen wie negative Basen oder balancierte Basen sowie weniger verbreitete nichtstandardbasierte Systeme, die in bestimmten mathematischen Zusammenhängen genutzt werden.