Yksikkökvaternionin

Yksikkökvaternioni on kvaternioni, jonka normi on yksi. Kvaternioni on nelidimensionaalinen luku, joka voidaan esittää muodossa $a + bi + cj + dk$, missä $a, b, c, d$ ovat reaalilukuja ja $i, j, k$ ovat imaginaariyksiköitä, jotka toteuttavat $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$. Yksikkökvaternionin normi määritellään $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$. Kun tämä normi on yksi, se tarkoittaa, että $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1$.

Yksikkökvaternioneilla on tärkeä rooli kolmiulotteisen avaruuden rotaatioiden esittämisessä. Jokainen yksikkökvaternioni, joka ei ole $1$ tai $-1$, vastaa yksikäsitteisesti tiettyä rotaatiota kolmiulotteisessa avaruudessa. Rotaatio määritellään akselin ja kulman avulla. Jos kvaternioni on muotoa $\cos(\theta/2) + v \sin(\theta/2)$, missä $v$ on yksikkövektori ja $\theta$ on rotaatiokulma, tämä kvaternioni edustaa rotaatiota akselin $v$ suuntaan kulmalla $\theta$.

Yksikkökvaternioineja käytetään laajalti tietokonegrafiikassa, robotiikassa ja avaruusnavigoinnissa, koska ne voivat esittää rotaatioita tehokkaasti ja välttää gimbal lock -ongelman, joka voi ilmetä muiden rotaatiomenetelmien, kuten Eulerin kulmien, käytössä. Kvaternionien matriisiesitys on myös neljä kertaa suurempi kuin vastaava rotaatiomatriisi, mutta kvaternioiden yhdistäminen rotaatioiden sarjana on tehokkaampaa. Yksikkökvaternionien matriisiesitys on $4 \times 4$ rotaatiomatriisi.