Yksikkökvaternionien

Yksikkökvaternionit ovat kvaternioita, joiden normi on 1. Kvaternio on lukumuotoa $a + bi + cj + dk$, missä $a, b, c, d$ ovat reaalilukuja ja $i, j, k$ ovat imaginaariyksiköitä, jotka toteuttavat seuraavat ehdot: $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$. Yksikkökvaternionin normi lasketaan kaavalla $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$. Kun tämä normi on 1, kvaternio on yksikkökvaternio.

Yksikkökvaternioita käytetään laajalti kolmiulotteisessa avaruudessa tapahtuvien rotaatioiden esittämiseen. Niiden etuna on se, että ne välttävät gimbal lock -ongelman, joka voi esiintyä käytettäessä Eulerin kulmia. Yksikkökvaternionin ja rotaation välinen yhteys perustuu siihen, että yksikkökvaternio $q = \cos(\theta/2) + \sin(\theta/2)(ui + vj + wk)$ edustaa rotaatiota akselin $(u, v, w)$ ympäri kulmalla $\theta$. Tässä $(u, v, w)$ on yksikkövektori, joka määrittää rotaatioakselin.

Kaksi yksikkökvaterniota voidaan kertoa keskenään, ja tulos on myös yksikkökvaternio. Tämä ominaisuus tekee niistä tehokkaan tavan yhdistää useita peräkkäisiä rotaatioita yhdeksi ainoaksi rotaatioksi. Yksikkökvaternionien etuja ovat myös niiden kompakti esitysmuoto ja laskennallinen tehokkuus verrattuna esimerkiksi rotaatiomatriiseihin. Ne ovat yleisiä tietokonegrafiikassa, robotiikassa ja navigaatiojärjestelmissä. Yksikkökvaternionin imaginaariosan $(b, c, d)$ tulee muodostaa yksikkövektori, kun reaaliosa $a$ on nolla, mutta tämä ei ole yleinen vaatimus.