Yksikkökvaternioita

Yksikkökvaternio, tunnetaan myös nimellä unitaarinen kvaternio tai yksikkö-kvaternio, on nelidimensionaalinen kompleksiluku, jonka normi on yksi. Kvaternioita käytetään yleisesti kolmiulotteisen avaruuden rotaatioiden esittämiseen ja käsittelyyn. Yksikkökvaternioiden normi yksi takaa, että ne edustavat puhtaita rotaatioita ilman skaalausta tai venymistä.

Yksikkökvaternioita voidaan esittää muodossa q = a + bi + cj + dk, missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja, ja i, j, k ovat imaginaariyksiköitä, jotka toteuttavat seuraavat säännöt: i² = j² = k² = ijk = -1, sekä ij = k, ji = -k, jk = i, kj = -i, ki = j, ik = -j. Yksikkökvaternioille pätee a² + b² + c² + d² = 1.

Rotaation kuvaamiseksi yksikkökvaterniolla, jos halutaan kiertää vektoria v origon ympäri kulman θ verran akselin u (joka on yksikkövektori) suhteen, käytetään kvaterniota q = cos(θ/2) + u * sin(θ/2). Vektorin v kiertynyt muoto v' saadaan kvaternioiden kertolaskulla: v' = qvq⁻¹, missä v on kvaternio muodossa 0 + vxi + vyu + vzi. Koska q on yksikkökvaternio, sen käänteisarvo q⁻¹ on sama kuin sen konjugaatti q*.

Yksikkökvaternioiden etuna muihin rotaatioiden esitystapoihin, kuten Euler-kulmiin tai rotaatiomatriiseihin, verrattuna ovat niiden numeerinen vakaus, helppo yhdistäminen peräkkäisiksi rotaatioiksi (kvaternioiden kertolaskulla) ja gimbaalilukkojen puuttuminen. Ne ovat laajasti käytössä robotiikassa, tietokonegrafiikassa, ilmailussa ja muilla aloilla, joissa tarvitaan tarkkaa ja tehokasta kolmiulotteista avaruutta manipuloivaa matematiikkaa.