Yksikkökvaternioneilla

Yksikkökvaternioneilla viitataan kvaternioneihin, joiden normi eli itseisarvo on yksi. Kvaternioni on nelidimensionaalinen lukujärjestelmä, joka laajentaa kompleksilukuja. Sitä voidaan merkitä muodossa $a + bi + cj + dk$, missä $a, b, c, d$ ovat reaalilukuja ja $i, j, k$ ovat imaginaariyksiköitä, jotka toteuttavat tietyt kertolaskusäännöt ($i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$). Kvaternionin normi määritellään $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$.

Yksikkökvaternioneja käytetään yleisesti kolmiulotteisessa avaruudessa tapahtuvien rotaatioiden esittämiseen ja käsittelyyn. Yksi yksikkökvaternioni voi kuvata yksikäsitteisesti minkä tahansa rotaation akselin ja kulman. Tämä tekee niistä tehokkaan työkalun esimerkiksi tietokonegrafiikassa, robotiikassa ja avaruusnavigoinnissa. Ne tarjoavat etuja verrattuna muihin rotaatioesityksiin, kuten Eulerin kulmiin tai rotaatiomatriiseihin, muun muassa välttämällä singulariteetteja ja vähentämällä laskennallista kuormaa.

Kun kaksi yksikkökvaternioniota kerrotaan keskenään, tuloksena saadaan myös yksikkökvaternioni. Tämä ominaisuus on olennainen rotaatioiden yhdistämisessä. Yksikkökvaternionien avulla rotaatiot voidaan ilmaista kompaktisti ja stabiilisti. Jokaiselle rotaatiolle on olemassa kaksi yksikkökvaternioniota, jotka vastaavat samaa rotaatiota, mutta ne eroavat toisistaan etumerkiltään.